홍차넷 - 2의 n제곱근은 무리수임을 증명! (n이 2보다 클 때)

문제: 2의 n제곱근은 무리수임을 증명하시오. 단 n>2.

풀이:
- 귀류법을 사용해서, 2의 n제곱근이 유리수라고 가정하겠습니다.

- 그러면 2^(1/n) = p / q 입니다. (p, q는 정수)

- 양쪽을 n제곱하면 2 = (p^n) / (q^n) 입니다.

- 재배치하면 2*(q^n) = p^n 입니다.

- 다시 쓰면 q^n + q^n = p^n 입니다.

- 페르마의 마지막 정리에 따르면 n>2 에 대해 a^n + b^n = c^n 을 만족하는 a, b, c는 없습니다.

- 따라서 q^n + q^n = p^n 을 만족하는 p, q는 없기 때문에 모순이 발생하고, 따라서 n>2 일 때 2의 n제곱근은 무리수입니다. 증명 끝!

Date	25/08/19 12:08:34
Name	아침커피
Subject	2의 n제곱근은 무리수임을 증명! (n이 2보다 클 때)
https://m2.sm.or.kr/free/15672 문제: 2의 n제곱근은 무리수임을 증명하시오. 단 n>2. 풀이: - 귀류법을 사용해서, 2의 n제곱근이 유리수라고 가정하겠습니다. - 그러면 2^(1/n) = p / q 입니다. (p, q는 정수) - 양쪽을 n제곱하면 2 = (p^n) / (q^n) 입니다. - 재배치하면 2(q^n) = p^n 입니다. - 다시 쓰면 q^n + q^n = p^n 입니다. - 페르마의 마지막 정리에 따르면 n>2 에 대해 a^n + b^n = c^n 을 만족하는 a, b, c는 없습니다. - 따라서 q^n + q^n = p^n 을 만족하는 p, q는 없기 때문에 모순이 발생하고, 따라서 n>2 일 때 2의 n제곱근은 무리수입니다. 증명 끝! 2 갑분여백좌 이 게시판에 등록된 아침커피*님의 최근 게시물 25-08-19 2의 n제곱근은 무리수임을 증명! (n이 2보다 클 때) [21] 24-04-25 5년후 2029년의 애플과 구글 [7] 23-11-04 우리가 몰랐던 유비의 참 모습 [12] 23-09-28 영끌, FOMO, 그리고 미쳤다 [4] 23-06-08 과학이 횡포를 부리는 방법 [20] 23-05-29 책장 파먹기 [2] 23-05-04 재미있는 타자와 AI 감독 [9] 23-01-14 주식하기 좋은 날에 대한 수학적 증명 [3] 22-12-17 너, 히스패닉의 친구가 돼라 [5] 22-11-26 세상이 굴러가게 하는 비용 5.5 달러 [15]